分式方程是初中数学的重要组成部分，它不仅考察了学生的代数运算能力，还培养了解决实际问题的能力。为了帮助同学们更好地掌握这一知识点，本文精心挑选了一些典型题目，并附上详细解答，供同学们练习使用。
一、基础题型
例题1
解方程：$\frac{x}{x-3} = \frac{4}{x+2}$
解析：首先确定分母不为零的条件，即$x \neq 3$且$x \neq -2$。两边同时乘以$(x-3)(x+2)$，得到：
$$
x(x+2) = 4(x-3)
$$
展开并整理后：
$$
x^2 + 2x = 4x - 12
$$
进一步化简为：
$$
x^2 - 2x + 12 = 0
$$
利用求根公式可得：
$$
x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}
$$
计算得$x_1 = 6, x_2 = -2$。但需注意$x \neq -2$，因此最终解为$x = 6$。
例题2
解方程：$\frac{2x-1}{x+1} + \frac{1}{x-1} = 2$
解析：同样先确保分母不为零，即$x \neq -1$且$x \neq 1$。两边通分为一个分式，得到：
$$
\frac{(2x-1)(x-1) + (x+1)}{(x+1)(x-1)} = 2
$$
化简分子部分：
$$
(2x-1)(x-1) + (x+1) = 2x^2 - 3x + 2
$$
于是方程变为：
$$
\frac{2x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1} = 2
$$
两边同乘$x^2 - 1$，整理后得到：
$$
2x^2 - 3x + 2 = 2x^2 - 2
$$
化简后得：
$$
-3x + 4 = 0
$$
解得$x = \frac{4}{3}$。
二、进阶题型
例题3
解方程：$\frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x} = 3$
解析：将方程两边通分为一个分式，得到：
$$
\frac{x^2 + (x+1)^2}{x(x+1)} = 3
$$
化简分子部分：
$$
x^2 + (x+1)^2 = x^2 + x^2 + 2x + 1 = 2x^2 + 2x + 1
$$
于是方程变为：
$$
\frac{2x^2 + 2x + 1}{x(x+1)} = 3
$$
两边同乘$x(x+1)$，整理后得到：
$$
2x^2 + 2x + 1 = 3x^2 + 3x
$$
化简后得：
$$
x^2 + x - 1 = 0
$$
利用求根公式可得：
$$
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1}
$$
计算得$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$。
例题4
解方程：$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{2}{x+2}$
解析：两边通分为一个分式，得到：
$$
\frac{(x+1)(x+2) + x(x+2)}{x(x+1)(x+2)} = \frac{2x(x+1)}{x(x+1)(x+2)}
$$
化简分子部分：
$$
(x+1)(x+2) + x(x+2) = x^2 + 3x + 2 + x^2 + 2x = 2x^2 + 5x + 2
$$
于是方程变为：
$$
\frac{2x^2 + 5x + 2}{x(x+1)(x+2)} = \frac{2x^2 + 2x}{x(x+1)(x+2)}
$$
两边约去相同的分母后，得到：
$$
2x^2 + 5x + 2 = 2x^2 + 2x
$$
化简后得：
$$
3x + 2 = 0
$$
解得$x = -\frac{2}{3}$。
总结
通过以上例题可以看出，分式方程的关键在于正确地通分和整理方程。在解题过程中，务必注意分母不为零的条件，避免遗漏或错误解。希望这些练习题能够帮助大家巩固知识点，提升解题能力！
答案：
1. $x = 6$
2. $x = \frac{4}{3}$
3. $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$
4. $x = -\frac{2}{3}$
