题型一：基本公式应用
例题：
已知$\sin\alpha = \frac{3}{5}$且$\alpha$在第二象限，求$\cos\alpha$和$\tan\alpha$的值。
解析：
利用三角函数的基本关系式：
$$
\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1
$$
代入已知条件，得：
$$
\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1
$$
解得$\cos\alpha = -\frac{4}{5}$（因为$\alpha$在第二象限，$\cos\alpha$为负）。
再由$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$，可得$\tan\alpha = -\frac{3}{4}$。
题型二：同角三角函数的关系
例题：
若$\tan\theta = 2$，求$\sin\theta$和$\cos\theta$的值。
解析：
根据$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 2$，设$\sin\theta = 2k$，$\cos\theta = k$。
由$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$，得：
$$
(2k)^2 + k^2 = 1 \implies 5k^2 = 1 \implies k = \pm\frac{1}{\sqrt{5}}
$$
因此，$\sin\theta = \pm\frac{2}{\sqrt{5}}$，$\cos\theta = \pm\frac{1}{\sqrt{5}}$，符号取决于$\theta$所在的象限。
题型三：诱导公式应用
例题：
化简$\sin(270^\circ - \theta)$。
解析：
利用诱导公式$\sin(270^\circ - \theta) = -\cos\theta$，直接得到结果为$-\cos\theta$。
题型四：两角和差公式
例题：
计算$\sin(15^\circ)$的值。
解析：
利用两角差公式$\sin(a-b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b$，取$a = 45^\circ$，$b = 30^\circ$，则：
$$
\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ\cos 30^\circ - \cos 45^\circ\sin 30^\circ
$$
代入具体值：
$$
\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
$$
题型五：倍角公式
例题：
已知$\cos\alpha = \frac{1}{3}$，求$\cos(2\alpha)$的值。
解析：
利用倍角公式$\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$，代入$\cos\alpha = \frac{1}{3}$，得：
$$
\cos(2\alpha) = 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{1}{9} - 1 = \frac{2}{9} - \frac{9}{9} = -\frac{7}{9}
$$
题型六：解三角形问题
例题：
在$\triangle ABC$中，已知$a = 5$，$b = 7$，$\angle C = 60^\circ$，求$c$的长度。
解析：
利用余弦定理$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$，代入数据：
$$
c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60^\circ = 25 + 49 - 35 = 39
$$
因此，$c = \sqrt{39}$。
题型七：综合应用题
例题：
已知$\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{2}$，求$\sin\alpha\cos\alpha$的值。
解析：
两边平方，利用$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$，得：
$$
(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{4}
$$
即：
$$
1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{4} \implies 2\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{3}{4} \implies \sin\alpha\cos\alpha = -\frac{3}{8}
$$
以上是新高考中三角函数与解三角形的七种常见题型及其解析。希望同学们通过这些典型题目能够更加熟练地掌握相关知识点，为考试做好充分准备！
