在数学学习中，对数是一个非常重要的概念，它不仅在理论研究中有广泛的应用，在实际问题解决中也扮演着不可或缺的角色。对数的运算更是其核心部分之一，掌握好对数的性质和运算法则是学好数学的关键。下面，我们将通过一系列练习题来帮助大家巩固对数及其运算的知识点。

基础练习题

1. 已知 \( \log_a x = 3 \)，求 \( a^3 \) 的值。

2. 若 \( \log_2 (x+1) + \log_2 (x-1) = 3 \)，求 \( x \) 的值。

3. 计算 \( \log_5 125 - \log_5 5 \)。

中等难度练习题

4. 解方程 \( \log_{10} (x^2 - 9) = 1 \)。

5. 若 \( \log_a b = c \)，试证明 \( \log_b a = \frac{1}{c} \)。

6. 求 \( \log_2 8 + \log_2 4 - \log_2 2 \) 的值。

高级挑战题

7. 已知 \( \log_a b = m \) 和 \( \log_b c = n \)，求 \( \log_a c \) 的表达式。

8. 若 \( \log_x y = p \) 且 \( \log_y z = q \)，求 \( \log_x z \)。

9. 设 \( a > 1 \)，解关于 \( x \) 的不等式 \( \log_a (x+2) < \log_a (3x-4) \)。

答案解析

1. 根据定义，\( \log_a x = 3 \) 表示 \( a^3 = x \)，所以答案为 \( x \)。

2. 利用对数加法公式 \( \log_a M + \log_a N = \log_a (MN) \)，可得 \( \log_2 [(x+1)(x-1)] = 3 \)，即 \( (x+1)(x-1) = 2^3 = 8 \)，解得 \( x = 3 \) 或 \( x = -3 \)，但 \( x = -3 \) 不满足条件，因此 \( x = 3 \)。

3. 使用对数减法公式 \( \log_a M - \log_a N = \log_a \left(\frac{M}{N}\right) \)，则 \( \log_5 125 - \log_5 5 = \log_5 \left(\frac{125}{5}\right) = \log_5 25 = 2 \)。

4. 将方程转化为指数形式 \( x^2 - 9 = 10^1 = 10 \)，解得 \( x = \pm \sqrt{19} \)，但由于 \( x^2 - 9 > 0 \)，所以 \( x > 3 \) 或 \( x < -3 \)，最终 \( x = \sqrt{19} \)。

5. 根据换底公式 \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \)，可以证明 \( \log_b a = \frac{1}{c} \)。

6. 使用对数加减法公式，\( \log_2 8 + \log_2 4 - \log_2 2 = \log_2 \left(\frac{8 \cdot 4}{2}\right) = \log_2 16 = 4 \)。

7. 根据对数的传递性 \( \log_a c = \log_a b \cdot \log_b c = mn \)。

8. 同样利用对数传递性 \( \log_x z = \log_x y \cdot \log_y z = pq \)。

9. 由于 \( a > 1 \)，函数 \( \log_a x \) 单调递增，故 \( x+2 < 3x-4 \)，解得 \( x > 3 \)。

以上就是一些关于对数及其运算的基础、中等及高级练习题，希望大家能够通过这些题目更好地理解和掌握对数的相关知识。继续努力吧！