在数学学习中，二元一次方程组是解决实际问题的重要工具之一。通过构建合适的方程组并求解，我们可以高效地处理各种现实场景中的数量关系问题。以下是一些经典的二元一次方程组应用题及其详细解答过程，希望对大家的学习有所帮助。
题目一：商品销售问题
某商店出售两种商品A和B。已知购买3件A商品与4件B商品共需花费50元；而购买5件A商品与6件B商品则需要花费78元。问每件A商品和每件B商品的价格分别是多少？
解答：
设每件A商品的价格为x元，每件B商品的价格为y元。
根据题意可得：
\[
3x + 4y = 50 \tag{1}
\]
\[
5x + 6y = 78 \tag{2}
\]
使用代入法或消元法求解上述方程组。这里采用消元法：
将(1)式乘以5，(2)式乘以3，得到：
\[
15x + 20y = 250 \tag{3}
\]
\[
15x + 18y = 234 \tag{4}
\]
用(3)-(4)，消去x后得到：
\[
2y = 16 \implies y = 8
\]
将y=8代入(1)式：
\[
3x + 4(8) = 50 \implies 3x + 32 = 50 \implies 3x = 18 \implies x = 6
\]
因此，每件A商品的价格为6元，每件B商品的价格为8元。
题目二：行程问题
甲乙两人同时从相距100公里的两地出发，相向而行。甲的速度比乙快5公里/小时，两人相遇时所用时间恰好为2小时。求甲乙两人的速度各是多少？
解答：
设甲的速度为x公里/小时，乙的速度为y公里/小时。
根据题意可得：
\[
x - y = 5 \tag{1}
\]
\[
2x + 2y = 100 \implies x + y = 50 \tag{2}
\]
联立方程(1)和(2)，解得：
\[
(x, y) = (27.5, 22.5)
\]
因此，甲的速度为27.5公里/小时，乙的速度为22.5公里/小时。
题目三：工程合作问题
一项工程，若由甲单独完成需10天，若由乙单独完成则需15天。现两人合作，每天完成的工作量相同。问他们合作几天可以完成这项工程？
解答：
设甲每天完成的工作量为x，乙每天完成的工作量为y。
根据题意可得：
\[
10x = 1 \implies x = \frac{1}{10} \tag{1}
\]
\[
15y = 1 \implies y = \frac{1}{15} \tag{2}
\]
两人合作每天完成的工作量为：
\[
x + y = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}
\]
因此，他们合作需要6天才能完成这项工程。
以上是三个典型的二元一次方程组应用题及其解答过程。通过这些题目，我们不仅能够熟练掌握解题技巧，还能更好地理解如何将实际问题转化为数学模型进行分析和求解。希望读者朋友们能够从中受益，并在实践中不断积累经验！
