在高中数学的学习过程中，基本不等式是一个重要的知识点，它不仅在代数中广泛应用，而且在解决实际问题时也常常被用到。掌握好基本不等式的应用方法，有助于提高解题效率和思维能力。

所谓“基本不等式”，通常指的是均值不等式（AM-GM不等式），即对于任意两个非负实数 $ a $ 和 $ b $，都有：

$$

\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}

$$

当且仅当 $ a = b $ 时，等号成立。

这个不等式可以推广到多个正数的情况，例如三个正数 $ a, b, c $ 的情况：

$$

\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}

$$

同样，当且仅当 $ a = b = c $ 时，等号成立。

为了帮助同学们更好地理解和运用这一重要不等式，下面提供一些相关的练习题，供参考和练习。

一、基础题型

1. 已知 $ a > 0 $，$ b > 0 $，求证：

$$

a + b \geq 2\sqrt{ab}

$$

2. 若 $ x > 0 $，求函数 $ y = x + \frac{1}{x} $ 的最小值，并指出何时取得最小值。

3. 求证：对于任意正实数 $ a, b $，有

$$

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2

$$

二、综合应用题

4. 已知 $ a + b = 1 $，且 $ a > 0 $，$ b > 0 $，求 $ ab $ 的最大值。

5. 设 $ x > 0 $，$ y > 0 $，且满足 $ x + y = 6 $，求 $ xy $ 的最大值。

6. 已知 $ a, b, c $ 是正实数，且 $ a + b + c = 1 $，求 $ abc $ 的最大值。

三、拓展题型

7. 若 $ a, b, c $ 是正实数，且 $ abc = 1 $，求证：

$$

a + b + c \geq 3

$$

8. 已知 $ x > 0 $，$ y > 0 $，且 $ xy = 1 $，求 $ x^2 + y^2 $ 的最小值。

9. 设 $ a, b $ 是正实数，且 $ a + b = 4 $，求 $ a^2 + b^2 $ 的最小值。

四、思考题（提升难度）

10. 若 $ a, b, c $ 是正实数，且 $ a + b + c = 3 $，试比较 $ a^2 + b^2 + c^2 $ 与 $ ab + bc + ca $ 的大小关系。

11. 已知 $ x > 0 $，求函数 $ f(x) = x + \frac{4}{x} $ 的最小值。

12. 已知 $ x + y = 5 $，求 $ x^2 + y^2 $ 的最小值。

通过这些练习题的训练，可以帮助学生更深入地理解基本不等式的应用方法，并培养灵活运用的能力。建议在解题过程中注重逻辑推理和代数变形，同时注意等号成立的条件，这对于提高数学思维能力和解题技巧非常有帮助。

希望以上题目对大家的学习有所帮助！