在自动控制原理的学习过程中，掌握一些典型的习题对于理解系统分析与设计方法具有重要意义。本文将围绕几道具有代表性的题目进行深入分析，帮助读者更好地理解自动控制的基本概念和解题思路。
一、系统稳定性分析
题目： 已知某闭环系统的特征方程为 $ s^3 + 2s^2 + 3s + K = 0 $，试求使系统稳定的 $ K $ 的取值范围。
解析：
该题考查的是系统稳定性的判断方法，常用的方法有劳斯判据或赫尔维茨判据。这里我们采用劳斯判据来分析。
构造劳斯表如下：
| $ s^3 $ | 1 | 3 |
|-----------|-----|-----|
| $ s^2 $ | 2 | K |
| $ s^1 $ | $ \frac{2×3 - 1×K}{2} = 3 - \frac{K}{2} $ | 0 |
| $ s^0 $ | K | |
根据劳斯判据，系统稳定的条件是第一列所有元素均为正数。因此：
- $ 3 - \frac{K}{2} > 0 $ ⇒ $ K < 6 $
- $ K > 0 $
综上，当 $ 0 < K < 6 $ 时，系统稳定。
二、根轨迹绘制
题目： 绘制开环传递函数 $ G(s)H(s) = \frac{K}{s(s+1)(s+2)} $ 的根轨迹图，并说明其特性。
解析：
根轨迹是分析系统参数变化对闭环极点影响的重要工具。以下是绘制根轨迹的步骤：
1. 确定起点与终点：
开环极点为 $ s = 0, -1, -2 $；开环零点为无，因此根轨迹起始于这三个极点，终止于无穷远处。
2. 实轴上的根轨迹段：
实轴上满足奇数个极点和零点的区间为根轨迹段，即 $ (-\infty, -2] $ 和 $ [-1, 0] $。
3. 渐近线：
渐近线的夹角为 $ \frac{(2k+1)\pi}{n-m} = \frac{\pi}{3} $，其中 $ n=3 $（极点数），$ m=0 $（零点数）。
渐近线交点为 $ \sigma_a = \frac{-2 -1 -0}{3} = -1 $。
4. 分离点与会合点：
分离点可通过求导法或利用根轨迹方程求得，此处略去计算过程，结果约为 $ s = -0.42 $。
5. 与虚轴交点：
利用劳斯判据或代入 $ s = j\omega $ 求得临界增益 $ K $ 值。
通过以上分析，可以画出完整的根轨迹图，并据此判断系统在不同 $ K $ 值下的性能表现。
三、频率响应分析
题目： 已知系统开环传递函数为 $ G(j\omega) = \frac{1}{j\omega(1+j\omega)} $，求其幅频特性和相频特性。
解析：
幅频特性为 $ |G(j\omega)| = \frac{1}{\omega \sqrt{1 + \omega^2}} $，
相频特性为 $ \angle G(j\omega) = -90^\circ - \arctan(\omega) $。
通过绘制伯德图或奈奎斯特图，可以进一步分析系统的稳定裕度和动态性能。
四、状态空间分析
题目： 给定一个线性时不变系统的状态空间表达式为：
$$
\begin{cases}
\dot{x}_1 = x_2 \\
\dot{x}_2 = -x_1 - 2x_2 + u
\end{cases}
$$
求其传递函数。
解析：
将状态方程写成矩阵形式：
$$
\dot{x} =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-1 & -2
\end{bmatrix}
x +
\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
u
$$
输出方程设为 $ y = [1 \quad 0]x $。
使用传递函数公式：
$$
G(s) = C(sI - A)^{-1}B
$$
计算得：
$$
G(s) = \frac{1}{s^2 + 2s + 1}
$$
结语
自动控制原理中的典型习题不仅有助于巩固理论知识，还能提升解决实际工程问题的能力。通过对上述几类问题的练习与分析，读者可以更全面地掌握控制系统的设计与分析方法。希望本文能为学习者提供有益的参考。
