【高等代数试题及答案】在大学数学课程中，高等代数是一门基础而重要的学科，它不仅为后续的数学课程打下坚实的基础，也广泛应用于物理、工程、计算机科学等多个领域。为了帮助学生更好地掌握这门课程的核心内容，以下提供一套典型的高等代数试题及其详细解答，旨在帮助学习者巩固知识、提升解题能力。
一、选择题（每题4分，共20分）
1. 设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 的矩阵，若 $ A^2 = A $，则称 $ A $ 为幂等矩阵。下列说法正确的是：
A. $ A $ 必定可逆
B. $ A $ 的特征值只能是 0 或 1
C. $ A $ 的秩等于其迹
D. $ A $ 的行列式一定为 1
答案：B
2. 设向量空间 $ V $ 的维数为 $ n $，若 $ S $ 是 $ V $ 中的一个线性无关组，则 $ S $ 中最多含有多少个向量？
A. $ n - 1 $
B. $ n $
C. $ n + 1 $
D. 不确定
答案：B
3. 若 $ f(x) $ 是实系数多项式，且 $ f(i) = 0 $，其中 $ i $ 是虚数单位，则下列结论成立的是：
A. $ f(-i) = 0 $
B. $ f(1) = 0 $
C. $ f(x) $ 至少有一个实根
D. $ f(x) $ 没有实根
答案：A
4. 设 $ A $ 是一个 $ 3 \times 3 $ 的矩阵，其特征多项式为 $ (\lambda - 1)^2(\lambda + 2) $，则矩阵 $ A $ 的迹为：
A. 0
B. 1
C. 2
D. -1
答案：A
5. 下列哪一个不是线性变换的性质？
A. $ T(u + v) = T(u) + T(v) $
B. $ T(ku) = kT(u) $
C. $ T(0) = 0 $
D. $ T(u \cdot v) = T(u) \cdot T(v) $
答案：D
二、填空题（每空3分，共15分）
1. 设 $ A $ 是一个 $ 2 \times 2 $ 矩阵，若 $ \text{det}(A) = 5 $，则 $ \text{det}(2A) = $ _______。
答案：20
2. 向量 $ \mathbf{v} = (1, 2, 3) $ 在标准基下的坐标表示为 _______。
答案：$ (1, 2, 3) $
3. 设 $ \mathbf{u} = (1, 0, -1) $，$ \mathbf{v} = (2, 1, 0) $，则 $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = $ _______。
答案：2
4. 若矩阵 $ A $ 可对角化，则其特征值必须满足 _______ 条件。
答案：代数重数等于几何重数
5. 实数域上的二次型 $ x^2 + 2xy + y^2 $ 的正负惯性指数分别为 _______。
答案：1 和 0
三、解答题（共65分）
1. （15分）设矩阵 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $，求其特征值与特征向量。
解：
矩阵 $ A $ 的特征多项式为：
$$
\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 3 & 4 - \lambda \end{vmatrix} = (1 - \lambda)(4 - \lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2
$$
解方程 $ \lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0 $，得：
$$
\lambda = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}
$$
对应的特征向量可通过解方程 $ (A - \lambda I)\mathbf{x} = 0 $ 得到。
2. （20分）设 $ V $ 是实数域上的向量空间，$ \mathcal{B} = \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \} $ 是 $ V $ 的一个基，已知向量 $ \mathbf{u} = 2\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2 + 3\mathbf{v}_3 $，求向量 $ \mathbf{u} $ 在基 $ \mathcal{B} $ 下的坐标。
解：
由于 $ \mathbf{u} $ 已经用基 $ \mathcal{B} $ 表示为：
$$
\mathbf{u} = 2\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2 + 3\mathbf{v}_3
$$
因此，其在基 $ \mathcal{B} $ 下的坐标为：
$$
(2, -1, 3)
$$
3. （30分）设 $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 $，试求其根，并将其分解为一次因式的乘积。
解：
首先尝试有理根定理，可能的有理根为 $ \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 $。
试 $ x = 1 $：
$$
f(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0
$$
所以 $ x = 1 $ 是一个根，可将多项式分解为：
$$
f(x) = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)
$$
再对二次式进行因式分解：
$$
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
$$
因此，
$$
f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)
$$
四、总结
本套试题涵盖了高等代数中的基本概念和核心内容，包括矩阵运算、特征值与特征向量、线性变换、向量空间、多项式因式分解等。通过系统练习，有助于学生深入理解理论知识并提高实际应用能力。希望这份试题能够成为同学们复习和备考的重要参考资料。
