【专题1-3（一元二次方程根的判别式(解析版)）】在初中数学中，一元二次方程是重要的代数内容之一。它的一般形式为：
$$ ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0) $$
其中，$ a $、$ b $、$ c $ 是常数，且 $ a \neq 0 $。对于这类方程，我们常常需要判断其根的情况，例如是否有实数根、有几个实数根等。而判断这些信息的关键工具就是“一元二次方程的判别式”。
一、什么是判别式？
对于一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，我们可以通过求根公式来解出它的根：
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
在这个公式中，根号内的部分 $ b^2 - 4ac $ 被称为该方程的判别式，记作 $ \Delta $。即：
$$ \Delta = b^2 - 4ac $$
判别式的值决定了这个方程的根的性质。
二、判别式的三种情况及其意义
1. 当 $ \Delta > 0 $ 时：
方程有两个不相等的实数根。
即：$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} $，$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} $
2. 当 $ \Delta = 0 $ 时：
方程有两个相等的实数根，也称为重根。
此时，$ x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a} $
3. 当 $ \Delta < 0 $ 时：
方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
在实数范围内，方程无解。
三、判别式的应用举例
例1：判断下列方程的根的情况
题目：判断方程 $ 2x^2 - 5x + 3 = 0 $ 的根的类型。
解：
这里 $ a = 2 $，$ b = -5 $，$ c = 3 $。
计算判别式：
$$
\Delta = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 25 - 24 = 1 > 0
$$
因此，该方程有两个不相等的实数根。
例2：判断方程是否有实数根
题目：判断方程 $ x^2 + 4x + 4 = 0 $ 是否有实数根。
解：
$ a = 1 $，$ b = 4 $，$ c = 4 $。
$$
\Delta = 4^2 - 4 \times 1 \times 4 = 16 - 16 = 0
$$
由于 $ \Delta = 0 $，所以该方程有一个实数根（重根），即 $ x = -2 $。
例3：判断方程是否无实数根
题目：判断方程 $ 3x^2 + 2x + 1 = 0 $ 是否有实数根。
解：
$ a = 3 $，$ b = 2 $，$ c = 1 $。
$$
\Delta = 2^2 - 4 \times 3 \times 1 = 4 - 12 = -8 < 0
$$
因为判别式小于零，所以该方程在实数范围内没有解。
四、总结
一元二次方程的判别式是判断其根的性质的重要工具。通过计算判别式的值，我们可以快速判断：
- 判别式大于零 → 两个不等实根
- 判别式等于零 → 一个实根（重根）
- 判别式小于零 → 无实根（有复根）
掌握判别式的应用，不仅有助于解题，还能加深对一元二次方程的理解，是学习二次函数和方程的基础内容之一。
关键词：一元二次方程、判别式、实数根、重根、根的性质
