【用公式解一元二次方程12.1（初中数学第五册教案）】一、教学目标
1. 理解一元二次方程的一般形式，掌握求根公式的推导过程。
2. 能够运用求根公式正确求解一元二次方程。
3. 培养学生逻辑推理能力与代数运算能力。
4. 激发学生对数学的兴趣，增强解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点
- 重点：一元二次方程的求根公式的推导与应用。
- 难点：理解配方法与求根公式的联系，掌握判别式的作用。
三、教学准备
- 教师准备：多媒体课件、练习题、板书设计。
- 学生准备：课本、练习本、笔。
四、教学过程
1. 导入新课（5分钟）
教师通过生活中的实例引入一元二次方程的概念。例如：
> “一个长方形的面积是 60 平方米，宽比长少 4 米，求这个长方形的长和宽。”
引导学生列出方程，并观察其形式为 $ ax^2 + bx + c = 0 $，从而引出本节课的主题。
2. 新知讲解（15分钟）
（1）回顾一元二次方程的一般形式：
$$ ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0) $$
（2）引导学生回忆配方法的步骤，尝试将一般式转化为完全平方的形式。
例如，以方程 $ x^2 + 6x - 7 = 0 $ 为例，进行配方：
$$
x^2 + 6x = 7 \\
(x + 3)^2 = 16 \\
x + 3 = \pm 4 \\
x = -3 \pm 4
$$
得出解为 $ x_1 = 1, x_2 = -7 $
（3）进一步推广到一般形式，推导求根公式：
从 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 出发，两边同时除以 $ a $：
$$
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0
$$
移项得：
$$
x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}
$$
配方：
$$
x^2 + \frac{b}{a}x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 = -\frac{c}{a} + \left( \frac{b}{2a} \right)^2
$$
左边变为：
$$
\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}
$$
开方得：
$$
x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
最终得到：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
这就是一元二次方程的求根公式。
3. 公式应用（15分钟）
教师示范几个例题，学生同步练习：
例1：解方程 $ 2x^2 - 5x + 2 = 0 $
解：
$$
a = 2, b = -5, c = 2 \\
\Delta = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 2 = 25 - 16 = 9 \\
x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4} \\
x_1 = 2, \quad x_2 = \frac{1}{2}
$$
例2：解方程 $ x^2 + 4x + 5 = 0 $
解：
$$
\Delta = 16 - 20 = -4 < 0
$$
说明此方程无实数解。
4. 巩固练习（10分钟）
布置练习题，让学生独立完成并上台展示。
5. 小结与作业（5分钟）
- 回顾一元二次方程的求根公式及其应用。
- 强调判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac $ 的作用。
- 布置作业：完成课本第 12 页习题 1~5 题。
五、板书设计
```
用公式解一元二次方程
一、标准形式：ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0）
二、求根公式：
x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)
三、判别式 Δ = b² - 4ac
Δ > 0 → 两个不等实数解
Δ = 0 → 一个实数解
Δ < 0 → 无实数解
```
六、教学反思
本节课通过由浅入深的方式引导学生理解求根公式的来源，结合实例加深印象，有助于提高学生的计算能力和逻辑思维能力。在今后的教学中，应加强学生对判别式意义的理解，提升其解决实际问题的能力。
