【华罗庚金杯赛模拟试题附答案详解】“华罗庚金杯少年数学邀请赛”作为国内颇具影响力的数学竞赛之一，旨在激发青少年对数学的兴趣，提升逻辑思维与解题能力。为了帮助参赛学生更好地备考，本文特整理一套模拟试题，并附上详细的解答过程，帮助大家深入理解题目背后的数学思想。
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 若 $ a + b = 7 $，且 $ ab = 12 $，则 $ a^2 + b^2 $ 的值为（ ）
A. 13
B. 25
C. 37
D. 49
2. 某班有男生20人，女生15人，从中任选一人担任班长，则选中女生的概率是（ ）
A. $ \frac{3}{7} $
B. $ \frac{4}{7} $
C. $ \frac{1}{3} $
D. $ \frac{2}{5} $
3. 一个正方体的棱长为3cm，其表面积为（ ）
A. 9 cm²
B. 18 cm²
C. 54 cm²
D. 27 cm²
4. 已知 $ x : y = 2 : 3 $，且 $ x + y = 10 $，则 $ x = $（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
二、填空题（每题5分，共20分）
5. 计算：$ 2^3 \times (1 + 2) - 3^2 = $ __________.
6. 若 $ \frac{a}{b} = \frac{2}{3} $，则 $ \frac{a + b}{b} = $ __________.
7. 一个等腰三角形的底角为50°，则顶角为__________度。
8. 若 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $，则 $ x = $ __________.
三、解答题（每题10分，共40分）
9. 甲、乙两人同时从A地出发前往B地，甲的速度是每小时6公里，乙的速度是每小时4公里。若甲比乙早到1小时，求A、B两地之间的距离。
10. 解方程：$ 3(x - 2) + 4 = 2x + 1 $.
11. 在一个圆中，弦AB的长度为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求这个圆的半径。
12. 一个数列的前几项为：2, 5, 10, 17, 26, …，请写出第n项的通项公式。
四、附加题（10分）
13. 一个正整数，若将其各位数字倒过来，得到的新数比原数大27，求这个数。
答案与解析
一、选择题
1. 答案：C
解析：
$ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 7^2 - 2 \times 12 = 49 - 24 = 25 $，但注意这里题目可能设置陷阱，正确应为 $ 7^2 - 2 \times 12 = 49 - 24 = 25 $，所以正确选项应为 B. 25。
（注：本题可能存在表述问题，建议再次核对题干）
2. 答案：A
解析：
女生人数为15，总人数为35，概率为 $ \frac{15}{35} = \frac{3}{7} $。
3. 答案：C
解析：
正方体表面积公式为 $ 6a^2 $，代入 $ a = 3 $，得 $ 6 \times 9 = 54 $ cm²。
4. 答案：B
解析：
设 $ x = 2k $，$ y = 3k $，则 $ 2k + 3k = 5k = 10 $，解得 $ k = 2 $，故 $ x = 4 $。
二、填空题
5. 答案：15
解析：
$ 2^3 = 8 $，$ 1 + 2 = 3 $，$ 8 \times 3 = 24 $，$ 3^2 = 9 $，$ 24 - 9 = 15 $。
6. 答案：$ \frac{5}{3} $
解析：
$ \frac{a + b}{b} = \frac{a}{b} + 1 = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3} $。
7. 答案：80°
解析：
等腰三角形两底角相等，设为50°，则顶角为 $ 180^\circ - 2 \times 50^\circ = 80^\circ $。
8. 答案：2或3
解析：
$ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 $，解得 $ x = 2 $ 或 $ x = 3 $。
三、解答题
9. 答案：24 km
解析：
设距离为 $ s $，则 $ \frac{s}{6} = \frac{s}{4} - 1 $，解得 $ s = 24 $ km。
10. 答案：x = 7
解析：
展开左边：$ 3x - 6 + 4 = 2x + 1 $ → $ 3x - 2 = 2x + 1 $ → $ x = 7 $。
11. 答案：5 cm
解析：
根据勾股定理，设半径为 $ r $，则 $ r^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 $，故 $ r = 5 $ cm。
12. 答案：$ a_n = n^2 + 1 $
解析：
观察数列：
$ 1^2 + 1 = 2 $
$ 2^2 + 1 = 5 $
$ 3^2 + 1 = 10 $
所以通项公式为 $ a_n = n^2 + 1 $。
四、附加题
13. 答案：41
解析：
设原数为 $ 10a + b $，倒序后为 $ 10b + a $，则 $ 10b + a - (10a + b) = 27 $，即 $ 9b - 9a = 27 $，化简得 $ b - a = 3 $。
可能的组合有 $ a=1, b=4 $，即原数为41。
总结
通过本次模拟试题的练习，不仅能够巩固基础知识，还能提升解题速度和准确率。建议考生在复习时注重方法归纳与思维拓展，争取在正式比赛中发挥出色。
