【常用傅立叶变换表完整版】傅里叶变换是信号处理、物理、工程和数学领域中极为重要的工具，它能够将时域中的信号转换为频域表示，从而帮助我们更深入地理解信号的组成与特性。在实际应用中，掌握一些常用的傅里叶变换对是非常有必要的。以下是一份较为全面的“常用傅立叶变换表”，适用于学习和研究参考。
一、基本定义
傅里叶变换的一般形式如下：
$$
F(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt
$$
其逆变换为：
$$
f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega
$$
其中，$ j $ 是虚数单位，$ \omega $ 表示角频率。
二、常见函数的傅里叶变换对
| 函数 $ f(t) $ | 傅里叶变换 $ F(\omega) $ |
|----------------|--------------------------|
| $ \delta(t) $ | $ 1 $ |
| $ 1 $ | $ 2\pi \delta(\omega) $ |
| $ e^{j\omega_0 t} $ | $ 2\pi \delta(\omega - \omega_0) $ |
| $ \cos(\omega_0 t) $ | $ \pi [\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)] $ |
| $ \sin(\omega_0 t) $ | $ \frac{\pi}{j} [\delta(\omega - \omega_0) - \delta(\omega + \omega_0)] $ |
| $ \text{rect}(t) $ | $ \text{sinc}\left( \frac{\omega}{2} \right) $ |
| $ \text{tri}(t) $ | $ \text{sinc}^2\left( \frac{\omega}{2} \right) $ |
| $ e^{-a|t|} $（$ a > 0 $） | $ \frac{2a}{a^2 + \omega^2} $ |
| $ e^{-at} u(t) $（$ a > 0 $） | $ \frac{1}{a + j\omega} $ |
| $ \text{sgn}(t) $ | $ \frac{2}{j\omega} $ |
| $ u(t) $（单位阶跃函数） | $ \pi \delta(\omega) + \frac{1}{j\omega} $ |
三、傅里叶变换的性质
了解傅里叶变换的一些基本性质，有助于更快地推导复杂函数的变换结果：
1. 线性性：
$$
\mathcal{F}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(\omega) + b G(\omega)
$$
2. 时移性：
$$
\mathcal{F}\{f(t - t_0)\} = e^{-j\omega t_0} F(\omega)
$$
3. 频移性：
$$
\mathcal{F}\{e^{j\omega_0 t} f(t)\} = F(\omega - \omega_0)
$$
4. 尺度变换：
$$
\mathcal{F}\{f(at)\} = \frac{1}{|a|} F\left( \frac{\omega}{a} \right)
$$
5. 卷积定理：
$$
\mathcal{F}\{f(t) g(t)\} = F(\omega) G(\omega)
$$
6. 微分性质：
$$
\mathcal{F}\{f'(t)\} = j\omega F(\omega)
$$
四、应用举例
在实际工程中，傅里叶变换常用于：
- 信号滤波：通过频域分析识别并去除噪声；
- 图像处理：如图像压缩、边缘检测等；
- 通信系统：调制与解调过程中的频谱分析；
- 音频处理：音频信号的频谱分析与合成。
五、注意事项
- 在使用傅里叶变换时，需注意函数的可积性和收敛条件；
- 对于周期性信号，通常使用傅里叶级数进行分析；
- 离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）在数字信号处理中更为常见。
六、总结
傅里叶变换作为一种强大的数学工具，广泛应用于各个科学与工程领域。掌握常见的傅里叶变换对以及相关性质，不仅有助于理论分析，也能提升实际问题的解决能力。希望本表能为您的学习和研究提供便利与参考。
