【微积分试题讲解(1)】在学习微积分的过程中，做题是巩固知识、提升解题能力的重要方式。今天我们将通过一道典型的微积分题目，来深入分析其解题思路与关键步骤，帮助大家更好地理解相关概念。
题目：
已知函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 2 $，求该函数的极值点，并判断这些极值点是极大值还是极小值。
解题思路：
要找函数的极值点，通常需要利用导数的概念。具体来说，首先求出函数的一阶导数，然后令导数等于零，解出可能的极值点；接着再通过二阶导数或一阶导数的符号变化来判断这些点是极大值还是极小值。
步骤一：求一阶导数
给定函数为：
$$
f(x) = x^3 - 3x + 2
$$
对 $ f(x) $ 求导：
$$
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 2) = 3x^2 - 3
$$
步骤二：令导数为零，求临界点
设：
$$
f'(x) = 0 \Rightarrow 3x^2 - 3 = 0
$$
解这个方程：
$$
3x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1
$$
所以，函数的临界点为 $ x = 1 $ 和 $ x = -1 $。
步骤三：判断极值类型
方法一：二阶导数法
先求二阶导数：
$$
f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 3) = 6x
$$
代入临界点：
- 当 $ x = 1 $ 时，$ f''(1) = 6 \times 1 = 6 > 0 $，说明 $ x = 1 $ 是一个极小值点。
- 当 $ x = -1 $ 时，$ f''(-1) = 6 \times (-1) = -6 < 0 $，说明 $ x = -1 $ 是一个极大值点。
方法二：一阶导数符号变化法（可选）
我们也可以观察一阶导数在临界点附近的符号变化：
- 在 $ x = -1 $ 左侧（如 $ x = -2 $），$ f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 $
- 在 $ x = -1 $ 右侧（如 $ x = 0 $），$ f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0 $
因此，导数由正变负，说明 $ x = -1 $ 是极大值点。
同理：
- 在 $ x = 1 $ 左侧（如 $ x = 0 $），$ f'(0) = -3 < 0 $
- 在 $ x = 1 $ 右侧（如 $ x = 2 $），$ f'(2) = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 $
导数由负变正，说明 $ x = 1 $ 是极小值点。
步骤四：计算极值
将临界点代入原函数，得到极值：
- 当 $ x = -1 $ 时，
$$
f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4
$$
所以，极大值为 $ 4 $。
- 当 $ x = 1 $ 时，
$$
f(1) = (1)^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0
$$
所以，极小值为 $ 0 $。
总结：
通过对函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 2 $ 的分析，我们找到了它的两个极值点：
- 极大值点：$ x = -1 $，对应值为 $ 4 $
- 极小值点：$ x = 1 $，对应值为 $ 0 $
这道题不仅考察了导数的基本应用，还涉及了极值点的判定方法，是微积分中非常基础但重要的内容之一。
如果你正在学习微积分，建议多做一些类似的题目，逐步掌握导数的应用技巧，提高自己的数学思维能力和解题水平。
