【常用的等价无穷小】在高等数学中，尤其是在求极限的过程中，等价无穷小是一个非常重要的工具。它可以帮助我们简化复杂的表达式，从而更快速、准确地计算极限。等价无穷小指的是当自变量趋近于某个值时，两个无穷小量的比值趋于1。这种关系在极限运算中具有重要作用。
以下是一些常见的等价无穷小关系，适用于 $ x \to 0 $ 的情况：
| 原函数 | 等价无穷小 | 说明 |
| $ \sin x $ | $ x $ | 当 $ x \to 0 $ 时，$ \sin x \sim x $ |
| $ \tan x $ | $ x $ | 当 $ x \to 0 $ 时，$ \tan x \sim x $ |
| $ \arcsin x $ | $ x $ | 当 $ x \to 0 $ 时，$ \arcsin x \sim x $ |
| $ \arctan x $ | $ x $ | 当 $ x \to 0 $ 时，$ \arctan x \sim x $ |
| $ \ln(1 + x) $ | $ x $ | 当 $ x \to 0 $ 时，$ \ln(1 + x) \sim x $ |
| $ e^x - 1 $ | $ x $ | 当 $ x \to 0 $ 时，$ e^x - 1 \sim x $ |
| $ a^x - 1 $ | $ x \ln a $ | 当 $ x \to 0 $ 时，$ a^x - 1 \sim x \ln a $（其中 $ a > 0 $） |
| $ 1 - \cos x $ | $ \frac{1}{2}x^2 $ | 当 $ x \to 0 $ 时，$ 1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2 $ |
| $ \sqrt{1 + x} - 1 $ | $ \frac{1}{2}x $ | 当 $ x \to 0 $ 时，$ \sqrt{1 + x} - 1 \sim \frac{1}{2}x $ |
| $ (1 + x)^k - 1 $ | $ kx $ | 当 $ x \to 0 $ 时，$ (1 + x)^k - 1 \sim kx $（其中 $ k $ 为常数） |
这些等价无穷小在实际问题中应用广泛，特别是在处理极限、泰勒展开以及微分近似等问题时，能够大大简化计算过程。掌握这些基本关系，有助于提高解题效率和准确性。
需要注意的是，等价无穷小的应用必须满足一定的条件，例如自变量趋近于零，或者某些特定的点。在使用时应结合具体问题进行判断，避免误用导致结果错误。
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