【等比数列求和公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。等比数列的求和是学习数列时的一个重要知识点，掌握其求和公式对于解决实际问题具有重要意义。
等比数列的一般形式为：
$$ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} $$
其中，$ a $ 是首项，$ r $ 是公比，$ n $ 是项数。
当 $ r \neq 1 $ 时，等比数列的前 $ n $ 项和 $ S_n $ 可以用以下公式计算：
$$
S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}
$$
如果 $ r = 1 $，则所有项都相等，此时前 $ n $ 项和为：
$$
S_n = a \cdot n
$$
等比数列求和公式总结表
| 公式名称 | 公式表达式 | 适用条件 |
| 等比数列前n项和 | $ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ | $ r \neq 1 $ |
| 公比为1的情况 | $ S_n = a \cdot n $ | $ r = 1 $ |
实例分析
假设有一个等比数列，首项 $ a = 2 $，公比 $ r = 3 $，求前5项的和。
根据公式：
$$
S_5 = 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 243}{-2} = 2 \cdot \frac{-242}{-2} = 2 \cdot 121 = 242
$$
验证：
数列为：2, 6, 18, 54, 162
总和：2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242，结果一致。
通过掌握等比数列的求和公式，可以更高效地处理相关问题，尤其在金融、物理、计算机科学等领域有广泛应用。理解公式的推导过程也有助于加深对数列本质的认识。
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