在数学学习中，直角坐标系是一个非常重要的工具，它能够帮助我们更直观地理解和解决几何问题。今天，我们就来通过一些具体的练习题，加深对直角坐标系中三角形相关知识的理解。

例题一：已知三点坐标求三角形面积

假设在直角坐标系中有三个点A(1, 2)，B(4, 6)和C(7, 2)。请计算△ABC的面积。

解法：

利用行列式公式计算三角形面积，设A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，C(x₃, y₃)，则三角形面积为：

\[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right| \]

将点A(1, 2)，B(4, 6)，C(7, 2)代入公式：

\[ S = \frac{1}{2} \left| 1(6-2) + 4(2-2) + 7(2-6) \right| \]

\[ S = \frac{1}{2} \left| 4 + 0 - 28 \right| \]

\[ S = \frac{1}{2} \times 24 = 12 \]

所以，△ABC的面积为12平方单位。

例题二：判断三角形类型

在直角坐标系中，有三点P(-3, 4)，Q(0, 0)，R(3, 4)。请判断△PQR是什么类型的三角形。

解法：

首先计算各边长：

- PQ = √[(-3-0)² + (4-0)²] = √(9+16) = 5

- QR = √[(0-3)² + (0-4)²] = √(9+16) = 5

- PR = √[(-3-3)² + (4-4)²] = √36 = 6

由于PQ = QR且PR最长，所以△PQR是一个等腰三角形。

例题三：求三角形的高

在直角坐标系中，已知△DEF的顶点D(-2, 3)，E(4, 3)，F(1, -2)。求从D到EF的高。

解法：

首先确定EF的方程。因为E和F的y坐标相同，所以EF是一条水平线，其方程为y = 3。

从D(-2, 3)到直线y = 3的垂直距离即为高。显然，这个距离就是D的x坐标与EF上任意一点（如E）的x坐标的差值的绝对值：

\[ 高 = | -2 - 4 | = 6 \]

因此，从D到EF的高为6个单位。

通过以上几个例子，我们可以看到，在直角坐标系中处理三角形问题时，合理运用坐标公式和几何性质是非常关键的。希望这些练习能帮助大家更好地掌握这一部分内容！