在初中数学的学习过程中，一元二次方程是一个非常重要的知识点。它不仅涉及代数运算的基本技巧，还与实际生活中的许多问题密切相关。为了帮助大家更好地掌握这一部分内容，本文将提供一系列精选的一元二次方程练习题，并附上详细的解答过程。
练习题部分
题目 1：
解方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$。
题目 2：
已知方程 $2x^2 + 3x - 2 = 0$，求其两根之和与两根之积。
题目 3：
若方程 $x^2 + px + q = 0$ 的两个实数根互为倒数，试确定 $p$ 和 $q$ 的关系。
题目 4：
某矩形的长比宽多 3 米，面积为 28 平方米。设矩形的宽为 $x$ 米，请列出方程并求出矩形的长和宽。
题目 5：
已知抛物线 $y = x^2 - 4x + k$ 的顶点位于直线 $y = x$ 上，求参数 $k$ 的值。
答案解析部分
题目 1 解答：
原方程为 $x^2 - 5x + 6 = 0$。利用因式分解法：
$$
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0
$$
因此，解得 $x_1 = 2, x_2 = 3$。
题目 2 解答：
根据韦达定理，对于方程 $ax^2 + bx + c = 0$，两根之和为 $-\frac{b}{a}$，两根之积为 $\frac{c}{a}$。本题中 $a = 2, b = 3, c = -2$，则：
- 两根之和为 $-\frac{3}{2}$
- 两根之积为 $\frac{-2}{2} = -1$
题目 3 解答：
设方程的两根分别为 $x_1$ 和 $x_2$，由题意可知 $x_1 \cdot x_2 = 1$。根据韦达定理：
$$
x_1 \cdot x_2 = \frac{q}{1} = q
$$
因此 $q = 1$。同时，两根之和为 $-p$，即 $x_1 + x_2 = -p$。最终条件为 $q = 1$ 且 $p$ 满足上述关系。
题目 4 解答：
设矩形的宽为 $x$ 米，则长为 $(x+3)$ 米。面积公式为：
$$
x(x+3) = 28
$$
展开整理后得到：
$$
x^2 + 3x - 28 = 0
$$
利用因式分解法：
$$
x^2 + 3x - 28 = (x+7)(x-4) = 0
$$
解得 $x = -7$（舍去）或 $x = 4$。因此，宽为 4 米，长为 7 米。
题目 5 解答：
抛物线顶点坐标为 $\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$。对于 $y = x^2 - 4x + k$，有：
$$
-\frac{b}{2a} = 2, \quad f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + k = k - 4
$$
顶点位于直线 $y = x$ 上，则 $k - 4 = 2$，解得 $k = 6$。
以上就是本次练习的所有题目及答案解析。希望这些题目能够帮助大家巩固一元二次方程的知识点，并提高解题能力！如果还有其他疑问，欢迎随时交流讨论。
