【《复变函数》第四版习题解答第1章】在学习复变函数的过程中，第一章通常起到了承上启下的作用，它不仅回顾了复数的基本概念，还引入了复平面上的几何表示、复数的代数运算以及一些基本的函数形式。对于初学者来说，理解这些内容是后续学习复变函数理论的基础。
本章的习题涵盖了复数的定义、模与幅角的计算、复数的极坐标表示、复数的四则运算、共轭复数的性质以及复数在几何中的应用等。通过解决这些问题，学生可以加深对复数及其运算规则的理解，并为后续章节中更复杂的复变函数分析打下坚实的基础。
以下是对《复变函数》第四版第一章部分典型习题的解答与解析，旨在帮助读者更好地掌握相关知识点。
一、复数的基本概念
题目示例：
设 $ z = 1 + i $，求 $ |z| $ 和 $ \arg(z) $。
解答：
复数 $ z = a + bi $ 的模为：
$$
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
$$
代入 $ a = 1 $，$ b = 1 $，得：
$$
|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
$$
复数的幅角（主值）为：
$$
\arg(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)
$$
由于 $ a > 0 $，且 $ b > 0 $，所以 $ z $ 位于第一象限，故：
$$
\arg(z) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}
$$
二、复数的代数运算
题目示例：
计算 $ (1 + i)^2 $。
解答：
使用乘法公式：
$$
(1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i + (-1) = 2i
$$
因此，结果为 $ 2i $。
三、复数的极坐标表示
题目示例：
将复数 $ z = -1 - i $ 表示为极坐标形式。
解答：
首先计算模：
$$
|z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}
$$
再计算幅角。由于 $ z $ 在第三象限，其幅角为：
$$
\arg(z) = \pi + \arctan\left(\frac{-1}{-1}\right) = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}
$$
因此，极坐标形式为：
$$
z = \sqrt{2} \left( \cos\frac{5\pi}{4} + i \sin\frac{5\pi}{4} \right)
$$
四、复数的共轭与运算
题目示例：
设 $ z = 3 + 4i $，求 $ \overline{z} $ 和 $ z + \overline{z} $。
解答：
复数的共轭为：
$$
\overline{z} = 3 - 4i
$$
因此，
$$
z + \overline{z} = (3 + 4i) + (3 - 4i) = 6
$$
五、几何意义的应用
题目示例：
设 $ z_1 = 1 + i $，$ z_2 = -1 + i $，求两点之间的距离。
解答：
两点之间的距离即为复数差的模：
$$
|z_2 - z_1| = |(-1 + i) - (1 + i)| = |-2| = 2
$$
总结
第一章的内容虽然基础，但却是整个复变函数课程的基石。通过对复数的运算、表示方式以及几何意义的深入理解，能够为后续学习复变函数的连续性、可导性、积分、级数展开等内容做好充分准备。
建议在学习过程中多做练习，尤其注意复数的模、幅角、极坐标表示和共轭运算的运用。同时，结合图形进行理解，有助于形成直观的数学思维。
如需更多习题详解或进一步探讨复变函数的相关知识，欢迎继续交流。
