【中考二次函数经典例题精品】在初中数学的众多知识点中，二次函数是一个非常重要的内容，也是中考中的高频考点。掌握好二次函数的相关知识，不仅有助于提升数学成绩，还能为后续学习高中函数打下坚实的基础。本文将围绕“中考二次函数经典例题”这一主题，精选几道具有代表性的题目，并进行详细解析，帮助同学们深入理解二次函数的性质与应用。
一、二次函数的基本概念
二次函数的一般形式为：
$$ y = ax^2 + bx + c $$
其中 $ a \neq 0 $，$ a $、$ b $、$ c $ 为常数。其图像是一个抛物线，对称轴为直线 $ x = -\frac{b}{2a} $，顶点坐标为 $ \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) $。
二、经典例题解析
例题1：求二次函数的解析式
已知某二次函数的图像经过点 $ (1, 2) $、$ (-1, 6) $ 和 $ (0, 3) $，求该函数的解析式。
解析：
设二次函数为 $ y = ax^2 + bx + c $。
将三点代入：
- 当 $ x = 1 $，$ y = 2 $：$ a(1)^2 + b(1) + c = 2 $ → $ a + b + c = 2 $
- 当 $ x = -1 $，$ y = 6 $：$ a(-1)^2 + b(-1) + c = 6 $ → $ a - b + c = 6 $
- 当 $ x = 0 $，$ y = 3 $：$ a(0)^2 + b(0) + c = 3 $ → $ c = 3 $
将 $ c = 3 $ 代入前两个方程：
- $ a + b + 3 = 2 $ → $ a + b = -1 $
- $ a - b + 3 = 6 $ → $ a - b = 3 $
联立方程组：
$$
\begin{cases}
a + b = -1 \\
a - b = 3
\end{cases}
$$
解得：$ a = 1 $，$ b = -2 $
所以，函数解析式为：
$$ y = x^2 - 2x + 3 $$
例题2：求二次函数的最大值或最小值
已知二次函数 $ y = -2x^2 + 4x + 5 $，求其最大值或最小值，并指出取得最值时的自变量值。
解析：
由于 $ a = -2 < 0 $，该抛物线开口向下，因此有最大值。
顶点横坐标为：
$$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \times (-2)} = 1 $$
代入原式求纵坐标：
$$ y = -2(1)^2 + 4(1) + 5 = -2 + 4 + 5 = 7 $$
所以，该函数的最大值为 7，当 $ x = 1 $ 时取得最大值。
例题3：实际问题中的二次函数应用
某商场销售一种商品，每件成本为 50 元，售价为 $ x $ 元（$ x > 50 $），日销量为 $ (100 - x) $ 件。求利润最大时的售价。
解析：
利润 $ P = (x - 50)(100 - x) $
展开得：
$$ P = -x^2 + 150x - 5000 $$
这是一个开口向下的二次函数，求其最大值。
顶点横坐标为：
$$ x = -\frac{150}{2 \times (-1)} = 75 $$
此时利润最大，售价为 75 元。
三、总结与建议
二次函数是中考数学中的重点和难点之一，涉及的知识点包括函数解析式的确定、图像的性质、最值问题以及实际应用等。通过多做练习、理解函数图像的变化规律、掌握顶点公式和判别式等工具，可以有效提升解题能力。
建议同学们在复习过程中注重以下几个方面：
1. 熟练掌握二次函数的一般形式与图像特征；
2. 能够灵活运用配方法、待定系数法等技巧；
3. 多做综合性题目，提高综合分析与解决实际问题的能力。
通过不断积累和练习，相信每位同学都能在中考中取得理想的成绩！
