【最全三角函数公式表】在数学的学习过程中，三角函数是不可或缺的一部分，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。为了帮助大家更好地掌握和运用这些公式，本文整理了一份最全三角函数公式表，涵盖基本定义、常用公式、诱导公式、和差角公式、倍角公式、半角公式、积化和差与和差化积公式等，内容全面，适合学生、教师以及相关领域的研究者参考。
一、基本概念
三角函数是以角度为自变量的函数，通常定义在直角三角形中，也可推广到单位圆上。常见的六种三角函数如下：
| 函数名称 | 符号 | 定义式（直角三角形） | 单位圆定义 |
|----------|--------|----------------------|------------|
| 正弦 | sinθ | 对边 / 斜边| y / r|
| 余弦 | cosθ | 邻边 / 斜边| x / r|
| 正切 | tanθ | 对边 / 邻边| y / x|
| 余切 | cotθ | 邻边 / 对边| x / y|
| 正割 | secθ | 斜边 / 邻边| r / x|
| 余割 | cscθ | 斜边 / 对边| r / y|
其中，r 为单位圆上的半径，x 和 y 分别为点 (x, y) 的横纵坐标。
二、基本关系式
1. 倒数关系
- $ \sin\theta = \frac{1}{\csc\theta} $
- $ \cos\theta = \frac{1}{\sec\theta} $
- $ \tan\theta = \frac{1}{\cot\theta} $
2. 平方关系
- $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $
- $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $
- $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $
3. 商数关系
- $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $
- $ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $
三、诱导公式（角度变换）
诱导公式用于将任意角度转换为锐角范围内的三角函数值，适用于不同象限的角度变化。
| 角度变换 | 公式示例 |
|----------|----------|
| $ \sin(-\theta) = -\sin\theta $ | $ \cos(-\theta) = \cos\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) = \sin\theta $ | $ \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta $ | $ \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta $ |
| $ \sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta $ | $ \cos(2\pi - \theta) = \cos\theta $ |
四、和差角公式
用于计算两个角度之和或差的三角函数值：
- $ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta $
- $ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta $
- $ \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha \tan\beta} $
五、倍角公式
用于计算一个角度的两倍、三倍等的三角函数值：
- $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta $
- $ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta $
- $ \tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $
- $ \sin(3\theta) = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta $
- $ \cos(3\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta $
六、半角公式
用于计算一个角度的一半的三角函数值：
- $ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $
- $ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $
- $ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $
七、积化和差与和差化积公式
1. 积化和差
- $ \sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2} [\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] $
- $ \cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2} [\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)] $
- $ \sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2} [\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)] $
2. 和差化积
- $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $
- $ \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $
- $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $
- $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $
八、反三角函数简要介绍
反三角函数是三角函数的逆函数，常用于求解角度。常见的有：
- $ y = \arcsin x $：表示 $ \sin y = x $，定义域为 [-1, 1]，值域为 $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $
- $ y = \arccos x $：表示 $ \cos y = x $，定义域为 [-1, 1]，值域为 [0, π]
- $ y = \arctan x $：表示 $ \tan y = x $，定义域为 R，值域为 $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $
结语
三角函数作为数学中的基础工具，其公式繁多且应用广泛。掌握这些公式不仅有助于解决实际问题，也能提升数学思维能力。希望本文提供的“最全三角函数公式表”能够为大家提供便利，助力学习与研究。
如需进一步了解某类公式的具体推导过程或应用场景，欢迎继续交流！
