【数学函数公式】在数学中，函数是描述变量之间关系的重要工具。它广泛应用于科学、工程、经济等多个领域。以下是一些常见的数学函数及其公式，便于快速查阅和理解。
一、常见数学函数总结
| 函数类型 | 数学表达式 | 定义域 | 值域 | 说明 | ||
| 一次函数 | $ f(x) = ax + b $ | $ \mathbb{R} $ | $ \mathbb{R} $ | $ a $ 为斜率，$ b $ 为截距 | ||
| 二次函数 | $ f(x) = ax^2 + bx + c $ | $ \mathbb{R} $ | $ y \geq \frac{4ac - b^2}{4a} $（当 $ a > 0 $）或 $ y \leq \frac{4ac - b^2}{4a} $（当 $ a < 0 $） | 图像为抛物线 | ||
| 指数函数 | $ f(x) = a^x $ | $ \mathbb{R} $ | $ (0, +\infty) $ | $ a > 0 $，且 $ a \neq 1 $ | ||
| 对数函数 | $ f(x) = \log_a x $ | $ (0, +\infty) $ | $ \mathbb{R} $ | 底数 $ a > 0 $，且 $ a \neq 1 $ | ||
| 正弦函数 | $ f(x) = \sin x $ | $ \mathbb{R} $ | $ [-1, 1] $ | 周期性函数，周期为 $ 2\pi $ | ||
| 余弦函数 | $ f(x) = \cos x $ | $ \mathbb{R} $ | $ [-1, 1] $ | 周期性函数，周期为 $ 2\pi $ | ||
| 正切函数 | $ f(x) = \tan x $ | $ x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $（$ k \in \mathbb{Z} $） | $ \mathbb{R} $ | 周期性函数，周期为 $ \pi $ | ||
| 绝对值函数 | $ f(x) = | x | $ | $ \mathbb{R} $ | $ [0, +\infty) $ | 表示距离原点的距离 |
二、函数的性质与应用
- 单调性：函数在某一区间内随着自变量增大而增大或减小。
- 奇偶性：若 $ f(-x) = f(x) $，则为偶函数；若 $ f(-x) = -f(x) $，则为奇函数。
- 周期性：函数在一定间隔后重复其值，如三角函数。
- 反函数：若函数 $ f $ 是一一对应的，则存在反函数 $ f^{-1} $，满足 $ f(f^{-1}(x)) = x $。
三、常用公式整理
| 公式类型 | 公式 | 说明 |
| 二次方程求根公式 | $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ | 解形如 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的方程 |
| 对数恒等式 | $ \log_a (xy) = \log_a x + \log_a y $ | 对数的乘法法则 |
| 三角恒等式 | $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ | 基本三角恒等式 |
| 指数法则 | $ a^{m+n} = a^m \cdot a^n $ | 指数运算规则 |
| 导数公式 | $ \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} $ | 幂函数的导数 |
通过掌握这些基本函数和公式，可以更好地理解和解决实际问题。无论是初学者还是进阶学习者，都可以从中获得启发和帮助。
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