【微积分公式】微积分是数学中研究变化和累积的学科，广泛应用于物理、工程、经济学等领域。它主要包括微分学与积分学两部分。以下是对常见微积分公式的总结，便于快速查阅和理解。
一、微分公式
微分用于求函数在某一点的变化率或斜率。以下是常见的导数公式：
| 函数 | 导数 |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
二、积分公式
积分用于计算面积、体积等累积量。积分分为不定积分和定积分两种形式。
不定积分常用公式：
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ f(x) = x^n $（n ≠ -1） | $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | ||
| $ f(x) = e^x $ | $ \int e^x dx = e^x + C $ | ||
| $ f(x) = \frac{1}{x} $ | $ \int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ \int \sin x dx = -\cos x + C $ | ||
| $ f(x) = \cos x $ | $ \int \cos x dx = \sin x + C $ | ||
| $ f(x) = \sec^2 x $ | $ \int \sec^2 x dx = \tan x + C $ | ||
| $ f(x) = \csc^2 x $ | $ \int \csc^2 x dx = -\cot x + C $ |
定积分公式（牛顿-莱布尼茨公式）：
若 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数，则：
$$
\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
$$
三、基本积分技巧
1. 换元积分法：
设 $ u = g(x) $，则 $ \int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u) du $
2. 分部积分法：
$$
\int u dv = uv - \int v du
$$
3. 三角替换法：
常用于处理含根号的表达式，如 $ \sqrt{a^2 - x^2} $ 可用 $ x = a \sin \theta $ 替换。
4. 有理函数分解：
对于形如 $ \frac{P(x)}{Q(x)} $ 的有理函数，可将其分解为部分分式进行积分。
四、重要定理
1. 微积分基本定理：
如果 $ f $ 在 [a, b] 上连续，且 $ F $ 是 $ f $ 的一个原函数，则：
$$
\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
$$
2. 平均值定理：
若 $ f $ 在 [a, b] 上连续，则存在 $ c \in (a, b) $ 使得：
$$
f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx
$$
3. 泰勒展开与麦克劳林展开：
函数 $ f(x) $ 在 $ x = a $ 处的泰勒展开为：
$$
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n
$$
当 $ a = 0 $ 时称为麦克劳林展开。
通过掌握这些基础公式和技巧，可以更高效地解决微积分问题，并为后续学习更复杂的数学内容打下坚实的基础。
以上就是【微积分公式】相关内容，希望对您有所帮助。
