【常用微分公式】在数学分析中，微分是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的微分公式对于学习微积分、解决实际问题具有重要意义。以下是一些在高等数学中常用的微分公式，以加表格的形式进行整理，便于查阅和记忆。
一、基本微分公式
1. 常数函数的导数
常数函数的导数为零，表示其变化率为零。
2. 幂函数的导数
对于 $ f(x) = x^n $，其导数为 $ f'(x) = nx^{n-1} $，其中 $ n $ 为任意实数。
3. 指数函数的导数
- $ \frac{d}{dx} e^x = e^x $
- $ \frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a $，其中 $ a > 0 $，且 $ a \neq 1 $
4. 对数函数的导数
- $ \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} $
- $ \frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a} $
5. 三角函数的导数
- $ \frac{d}{dx} \sin x = \cos x $
- $ \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x $
- $ \frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x $
- $ \frac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x $
6. 反三角函数的导数
- $ \frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ \frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ \frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1 + x^2} $
二、复合函数与链式法则
当函数由多个函数复合而成时，需使用链式法则求导。设 $ y = f(g(x)) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
三、常见微分公式汇总表
| 函数形式 | 导数 |
| $ c $（常数） | $ 0 $ |
| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ \log_a x $ | $ \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ \cot x $ | $ -\csc^2 x $ |
| $ \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ \arccos x $ | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ \arctan x $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
四、小结
以上内容涵盖了常见的微分公式，适用于初等函数及其组合的求导。掌握这些公式不仅有助于解题，也能加深对函数性质的理解。建议在学习过程中多做练习，结合图形理解导数的意义，从而提升数学思维能力。
以上就是【常用微分公式】相关内容，希望对您有所帮助。
