【对勾函数最值出现在哪】对勾函数，也称为双曲线函数，通常形式为 $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $（其中 $ a > 0, b > 0 $），在数学中具有重要的应用价值。其图像呈“对勾”形状，左右对称，具有两个极值点：一个为最小值，一个为最大值。本文将总结该函数的最值出现位置，并通过表格形式进行归纳。
一、对勾函数的基本性质
对勾函数 $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $ 的定义域为 $ x \neq 0 $，其导数为：
$$
f'(x) = a - \frac{b}{x^2}
$$
令导数等于零，解得极值点：
$$
a - \frac{b}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{b}{a} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{b}{a}}
$$
因此，函数在 $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ 处取得极小值，在 $ x = -\sqrt{\frac{b}{a}} $ 处取得极大值。
二、最值出现的位置总结
| 函数形式 | 最大值位置 | 最小值位置 | 是否有界 | 说明 |
| $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $（$ a > 0, b > 0 $） | $ x = -\sqrt{\frac{b}{a}} $ | $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ | 无上界，有下界 | 在正区间有最小值，负区间有最大值 |
| $ f(x) = ax - \frac{b}{x} $（$ a > 0, b > 0 $） | $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ | $ x = -\sqrt{\frac{b}{a}} $ | 无下界，有上界 | 正区间有最大值，负区间有最小值 |
三、实际应用中的注意事项
1. 符号影响极值方向：若 $ a < 0 $ 或 $ b < 0 $，则极值点的大小关系会反转。
2. 单调性变化：在极值点两侧，函数的单调性会发生改变，左侧递减，右侧递增（或相反）。
3. 实际问题中的应用：对勾函数常用于优化问题，如成本最小化、利润最大化等，需结合具体情境判断最值位置。
四、结论
对勾函数的最值位置取决于其表达式中的系数符号和结构。一般情况下，当 $ a > 0, b > 0 $ 时，最小值出现在正数区域，最大值出现在负数区域；反之，则相反。理解这些规律有助于在实际问题中快速找到最优解。
总结：对勾函数的最值分别出现在 $ x = \pm \sqrt{\frac{b}{a}} $ 处，具体是最大值还是最小值，需根据函数的具体形式和参数符号来判断。
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