【矩阵乘法计算公式】矩阵乘法是线性代数中的基本运算之一，广泛应用于计算机图形学、机器学习、物理学等多个领域。理解矩阵乘法的计算公式和规则，有助于更好地掌握其应用方法。
一、矩阵乘法的基本概念
矩阵乘法是指两个矩阵相乘，得到一个新的矩阵。设矩阵 $ A $ 是一个 $ m \times n $ 矩阵，矩阵 $ B $ 是一个 $ n \times p $ 矩阵，则它们的乘积 $ C = AB $ 是一个 $ m \times p $ 矩阵。只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，矩阵乘法才可进行。
二、矩阵乘法的计算公式
设矩阵 $ A = [a_{ij}] $ 是一个 $ m \times n $ 矩阵，矩阵 $ B = [b_{jk}] $ 是一个 $ n \times p $ 矩阵，那么它们的乘积矩阵 $ C = [c_{ik}] $ 的每个元素 $ c_{ik} $ 可以通过以下公式计算：
$$
c_{ik} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot b_{jk}
$$
其中，$ i = 1, 2, ..., m $，$ k = 1, 2, ..., p $。
三、矩阵乘法的步骤说明
1. 确认维度是否匹配：A 的列数必须等于 B 的行数。
2. 确定结果矩阵的大小：结果矩阵的行数等于 A 的行数，列数等于 B 的列数。
3. 逐行逐列计算：对于结果矩阵中的每一个元素，使用对应行与列的元素进行点积运算。
四、矩阵乘法示例（表格形式）
| 矩阵 A (2×3) | 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 | |
| 矩阵 B (3×2) | 7 | 8 | |
| 9 | 10 | ||
| 11 | 12 |
计算过程如下：
- 第一行第一列：
$$
1×7 + 2×9 + 3×11 = 7 + 18 + 33 = 58
$$
- 第一行第二列：
$$
1×8 + 2×10 + 3×12 = 8 + 20 + 36 = 64
$$
- 第二行第一列：
$$
4×7 + 5×9 + 6×11 = 28 + 45 + 66 = 139
$$
- 第二行第二列：
$$
4×8 + 5×10 + 6×12 = 32 + 50 + 72 = 154
$$
结果矩阵 C (2×2)
| 58 | 64 |
| 139 | 154 |
五、总结
矩阵乘法是一种基于行与列的点积运算，其核心公式为：
$$
c_{ik} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot b_{jk}
$$
在实际应用中，需要确保矩阵的维度匹配，并按照上述步骤逐步计算。矩阵乘法不仅在数学中具有重要意义，在工程、计算机科学等领域也有广泛应用。掌握其计算方式，有助于提升对线性变换、数据处理等复杂问题的理解能力。
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