2018年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第62讲：几何体外接球的半径计算

在高中数学中，几何体外接球的半径计算是一个重要的知识点，也是高考中的常考题型之一。这类题目不仅考查了学生对立体几何的理解，还涉及到了空间想象能力与代数运算技巧的综合运用。本文将通过实例分析和方法总结的方式，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

一、基本概念与公式

首先，我们需要明确什么是几何体的外接球。简单来说，外接球是指能够完全包含某个几何体且与该几何体的所有顶点相切的球体。对于常见的几何体（如正方体、长方体等），其外接球的半径可以通过特定的公式来求解。

以正方体为例，假设正方体的边长为\(a\)，则其外接球的直径等于正方体的体对角线长度。因此，外接球的半径\(R\)可以表示为：

\[

R = \frac{\sqrt{3}a}{2}

\]

类似的公式还可以应用于其他规则几何体，例如长方体、棱柱等。

二、典型例题解析

例题1：正方体的外接球

已知一个正方体的边长为4cm，求其外接球的半径。

解析：

根据上述公式，正方体的外接球半径为：

\[

R = \frac{\sqrt{3} \cdot 4}{2} = 2\sqrt{3} \, \text{cm}

\]

例题2：长方体的外接球

已知一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，求其外接球的半径。

解析：

长方体的体对角线长度为：

\[

d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}

\]

因此，外接球的半径为：

\[

R = \frac{5\sqrt{2}}{2} \, \text{cm}

\]

三、解题技巧与注意事项

1. 理解几何体的结构：在解决此类问题时，首先要准确理解几何体的结构及其性质。

2. 灵活应用公式：不同几何体的外接球半径计算公式可能有所不同，需根据具体情况进行调整。

3. 注意单位换算：在实际计算中，要注意单位的一致性，避免因单位错误而导致答案偏差。

四、反馈训练

为了巩固所学知识，建议同学们完成以下练习题：

1. 已知一个正方体的体积为27立方厘米，求其外接球的半径。

2. 一个长方体的长、宽、高分别为6cm、8cm、10cm，求其外接球的半径。

通过反复练习，相信同学们能够更加熟练地掌握几何体外接球半径的计算方法。

希望以上内容能帮助大家更好地理解和掌握这一知识点！如果有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时联系我。