【直线与圆相交的弦长的计算公式】在解析几何中，直线与圆的位置关系是常见的问题之一。当一条直线与一个圆相交时，会形成一条弦。这条弦的长度可以通过一定的数学公式进行计算。掌握这一公式的推导和应用，有助于解决实际问题，如工程测量、物理运动轨迹分析等。
一、基本概念
- 直线：一般形式为 $ Ax + By + C = 0 $
- 圆：标准方程为 $ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $，其中 $(a, b)$ 是圆心，$r$ 是半径。
- 弦：直线与圆相交所形成的线段，两端点分别为交点。
二、弦长计算公式
设直线与圆相交于两点，弦长记为 $ L $，则其计算公式如下：
公式1（代数法）：
$$
L = 2\sqrt{r^2 - d^2}
$$
其中：
- $ r $ 是圆的半径；
- $ d $ 是圆心到直线的距离。
公式2（几何法）：
若已知两交点坐标 $ (x_1, y_1) $ 和 $ (x_2, y_2) $，则弦长为：
$$
L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
$$
三、计算步骤总结
| 步骤 | 内容 | ||
| 1 | 确定直线方程 $ Ax + By + C = 0 $ 和圆的方程 $ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $ | ||
| 2 | 计算圆心 $ (a, b) $ 到直线的距离 $ d $，公式为：$ d = \frac{ | Aa + Bb + C | }{\sqrt{A^2 + B^2}} $ |
| 3 | 代入弦长公式 $ L = 2\sqrt{r^2 - d^2} $ 进行计算 | ||
| 4 | 若知道交点坐标，可直接使用距离公式计算弦长 |
四、示例说明
题目：求直线 $ x + y - 1 = 0 $ 与圆 $ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4 $ 的弦长。
解：
- 圆心 $ (1, 1) $，半径 $ r = 2 $
- 直线距离 $ d = \frac{
- 弦长 $ L = 2\sqrt{2^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = 2\sqrt{4 - \frac{1}{2}} = 2\sqrt{\frac{7}{2}} $
五、表格总结
| 项目 | 内容 |
| 公式1 | $ L = 2\sqrt{r^2 - d^2} $ |
| 公式2 | $ L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $ |
| 关键参数 | 圆心、半径、直线距离、交点坐标 |
| 应用场景 | 工程、物理、几何问题 |
| 注意事项 | 确保直线与圆确实相交；避免除零错误；注意单位一致性 |
通过以上内容，我们可以清晰地理解直线与圆相交时弦长的计算方法，并能根据具体条件选择合适的公式进行计算。掌握这些知识，有助于提升数学建模与实际问题解决的能力。
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