高等数学是大学教育中一门重要的基础课程，它不仅为后续专业课程提供了必要的数学工具，还培养了学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。本文将围绕高等数学（II）的部分典型题目展开讨论，并提供详细的解答过程。

例题一：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1在区间[0,4]上的最大值和最小值。

解析：

首先计算函数的一阶导数f'(x)，得到f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

令f'(x) = 0，解得x=1或x=3。

接着计算二阶导数f''(x)，得到f''(x) = 6x - 12。

当x=1时，f''(1) = -6 < 0，所以x=1为极大值点；

当x=3时，f''(3) = 6 > 0，所以x=3为极小值点。

最后比较端点值与极值点处的函数值：

f(0) = 1, f(1) = 5, f(3) = 1, f(4) = 5。

因此，在区间[0,4]上，函数的最大值为5，最小值为1。

例题二：设函数y=f(x)满足微分方程y'' + 4y' + 4y = 0，且初始条件为y(0)=1, y'(0)=0，求函数y=f(x)的表达式。

解析：

这是一个二阶线性常系数齐次微分方程，其特征方程为r^2 + 4r + 4 = 0。

解得特征根r1=r2=-2。

因此，通解形式为y=(C1+C2x)e^(-2x)。

利用初始条件求解待定系数：

当x=0时，y=1，代入通解得C1=1；

对通解求导并代入初始条件y'(0)=0，解得C2=2。

最终得到特解为y=(1+2x)e^(-2x)。

通过以上两道例题可以看出，解决高等数学问题需要扎实的基础知识以及灵活运用各种方法的能力。希望同学们能够勤加练习，不断巩固所学知识，提高自己的数学素养。